6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 2sin2x = 1; 6) 2cos²x + cosx - 3 = 0; B) 3tg²x + tgx - 2 = 0; r) 2cos2x + 3sinx = 0;.

Ответ: а) \[x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\]; б) решений нет; в) \[x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi n, x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\]; г) \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in Z\]

1. Решим уравнение a):

\[2\sin^2x = 1 \Rightarrow \sin^2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]\[x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\]

2. Решим уравнение б):

\[2\cos^2x + \cos x - 3 = 0\]

Замена: \[t = \cos x, |t| \le 1\]

\[2t^2 + t - 3 = 0\]\[D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25\]\[t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1, t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} < -1\]

Тогда:

\[\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in Z\]

3. Решим уравнение в):

\[3tg^2x + tgx - 2 = 0\]

Замена: \[t = tg x\]

\[3t^2 + t - 2 = 0\]\[D = 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25\]\[t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}, t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1\]

Тогда:

\[tg x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in Z\]\[tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\]

4. Решим уравнение г):

\[2\cos 2x + 3\sin x = 0\]\[2(1 - 2\sin^2x) + 3\sin x = 0\]\[2 - 4\sin^2x + 3\sin x = 0\]\[4\sin^2x - 3\sin x - 2 = 0\]

Замена: \[t = \sin x, |t| \le 1\]

\[4t^2 - 3t - 2 = 0\]\[D = 9 + 4 \cdot 4 \cdot 2 = 41\]\[t_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{8} > 1, t_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{8}\]

Тогда:

\[\sin x = \frac{3 - \sqrt{41}}{8} \Rightarrow x = (-1)^n arcsin(\frac{3 - \sqrt{41}}{8}) + \pi n, n \in Z\]

Ответ: а) \[x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\]; б) решений нет; в) \[x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi n, x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\]; г) \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in Z\]