6. Решить однородное уравнение второй степени: -5sin²x + cos2x + 4sinxcosx = 0.

Решим уравнение $$-5\sin^2x + \cos^2x + 4\sin x\cos x = 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x
eq 0$$:

$$-5\tan^2x + 1 + 4\tan x = 0$$

$$-5\tan^2x + 4\tan x + 1 = 0$$

$$5\tan^2x - 4\tan x - 1 = 0$$

Пусть $$y = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$5y^2 - 4y - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$$

$$y_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

$$y_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$

Вернемся к замене:

1) $$\tan x = 1$$

$$x = \arctan 1 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) $$\tan x = -\frac{1}{5}$$

$$x = \arctan\left(-\frac{1}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ и $$x = \arctan\left(-\frac{1}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$