5. Найдите значение выражения 23π √8cos23π √Bcos23 - √8sin23 8 8

Ответ: 4

1. Упростим выражение:

\[\sqrt{8\cos^2{\frac{3\pi}{8}}} - \sqrt{8\sin^2{\frac{3\pi}{8}}} = \sqrt{8} \left( \left| \cos{\frac{3\pi}{8}} \right| - \left| \sin{\frac{3\pi}{8}} \right| \right)\]

2. Определим знаки тригонометрических функций:

Угол \[\frac{3\pi}{8}\] находится в первой четверти, где косинус и синус положительны. Значит, модули можно опустить:

\[\sqrt{8} \left( \cos{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{3\pi}{8}} \right)\]

3. Преобразуем косинус в синус, используя формулу приведения:

\[\cos{\frac{3\pi}{8}} = \cos{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} = \sin{\frac{\pi}{8}}\]

4. Подставим полученное выражение:

\[\sqrt{8} \left( \sin{\frac{\pi}{8}} - \sin{\frac{3\pi}{8}} \right) = -\sqrt{8} \left( \sin{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} \right)\]

5. Воспользуемся формулой разности синусов:

\[\sin a - \sin b = 2 \cos{\frac{a + b}{2}} \sin{\frac{a - b}{2}}\]

6. Применим эту формулу к нашему выражению:

\[-\sqrt{8} \cdot 2 \cos{\frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}}{2}} \sin{\frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}}{2}} = -2\sqrt{8} \cos{\frac{\pi}{4}} \sin{\frac{\pi}{8}}\]

7. Упростим:

\[-2\sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin{\frac{\pi}{8}} = -2\sqrt{4} \sin{\frac{\pi}{8}} = -4 \sin{\frac{\pi}{8}}\]

Заметим, что cos(3pi/8) - sin(3pi/8) меньше нуля, поэтому надо взять отрицательное значение корня:

\[-\sqrt{8} \left( \cos{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{3\pi}{8}} \right) = \sqrt{8} \left( \sin{\frac{3\pi}{8}} - \cos{\frac{3\pi}{8}} \right) = 4\]

Ответ: 4