3. Применение производной в исследовании функций 1. Исследовать функцию на максимум и минимум 1 y = x²+2 2

1. Исследовать функцию на максимум и минимум

$$y = \frac{1}{2}x^2 + 2$$

1. Находим первую производную функции:

$$y' = (\frac{1}{2}x^2 + 2)' = x$$

2. Приравниваем первую производную к нулю и находим критические точки:

$$x = 0$$

3. Находим вторую производную функции:

$$y'' = (x)' = 1$$

4. Определяем знак второй производной в критической точке:

$$y''(0) = 1 > 0$$

Так как вторая производная в точке x = 0 положительна, то в этой точке функция имеет минимум.

5. Вычисляем значение функции в точке минимума:

$$y(0) = \frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 2$$

Таким образом, функция имеет минимум в точке (0; 2).

Ответ: Функция имеет минимум в точке (0; 2).