6. При каких значении:x дробь √x-√7/x-7 принимает наибольшее значение?

Найдем, при каких значениях $$x$$ дробь $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{x-7}$$ принимает наибольшее значение.

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов: $$x-7 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{7})(\sqrt{x}+\sqrt{7})$$

Тогда дробь примет вид:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{x-7} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{(\sqrt{x}-\sqrt{7})(\sqrt{x}+\sqrt{7})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}$$

Дробь будет принимать наибольшее значение, когда знаменатель принимает наименьшее значение.

Т.к. $$x$$ должен быть неотрицательным (иначе корень не определен), то $$\sqrt{x} \ge 0$$. Минимальное значение достигается при $$\sqrt{x} = 0$$, т.е. при $$x=0$$.

Однако, при $$x=7$$ дробь не определена.

Поэтому, при $$x=0$$ дробь принимает наибольшее значение $$\frac{1}{\sqrt{7}}$$.

Ответ: при $$x=0$$