5. Докажите, что значение выражения 1/2√7-1 - 1/2√7+1 есть число рациональное.

Докажем, что значение выражения $$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1}$$ есть число рациональное.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1} = \frac{(2\sqrt{7}+1) - (2\sqrt{7}-1)}{(2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1)} = \frac{2\sqrt{7}+1 - 2\sqrt{7}+1}{(2\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{2}{4\cdot 7 - 1} = \frac{2}{28 - 1} = \frac{2}{27}$$

Т.к. $$\frac{2}{27}$$ - рациональное число, то значение выражения $$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1}$$ есть число рациональное, что и требовалось доказать.

Ответ: $$\frac{2}{27}$$ - рациональное число.