Постройте график функции y = (x² + 4x + 4 при x ≥ -4, 16/x при x < -4. Определите, при каких значениях т прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

Построим график функции, состоящий из двух частей:

1. Часть 1: \( y = x^2 + 4x + 4 \) при \( x \ge -4 \)
• Это парабола \( y = (x+2)^2 \). Вершина параболы находится в точке \( (-2, 0) \).
• Найдем значение функции на границе области: при \( x = -4 \), \( y = (-4+2)^2 = (-2)^2 = 4 \). Таким образом, на этой части график начинается с точки \( (-4, 4) \).
• Другие точки: \( x = -2 \Rightarrow y = 0 \); \( x = 0 \Rightarrow y = 4 \).
2. Часть 2: \( y = \frac{16}{x} \) при \( x < -4 \)
• Это гипербола.
• Найдем значение функции на границе области: при \( x = -4 \), \( y = \frac{16}{-4} = -4 \). Так как \( x < -4 \), эта точка \( (-4, -4) \) не включается в график, но она является предельной.
• Другие точки: \( x = -8 \Rightarrow y = -2 \); \( x = -16 \Rightarrow y = -1 \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет одну или две общие точки с графиком.

Нарисуем график и проведём горизонтальные прямые \( y = m \).

• Одна общая точка:
• Если \( m = 0 \), прямая \( y=0 \) касается вершины параболы \( (-2, 0) \).
• Если \( m = 4 \), прямая \( y=4 \) пересекает параболу в точке \( (-4, 4) \) (граничная точка) и в точке \( (0, 4) \). Если учесть, что \( x < -4 \) для гиперболы, то \( y=4 \) не пересекает гиперболу.
• Если \( m = -4 \) (предельное значение для гиперболы), прямая \( y=-4 \) подходит к графику гиперболы, но не пересекает его.
• Две общие точки:
• Когда \( 0 < m < 4 \) (между вершиной параболы и началом первого отрезка), прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках.
• Когда \( m > 4 \), прямая \( y=m \) пересекает параболу в двух точках.
• Когда \( m < -4 \), прямая \( y=m \) пересекает гиперболу в двух точках.

Объединяя случаи:

• Одна общая точка: \( m = 0 \) (вершина параболы) и \( m=4 \) (левая граница параболы).
• Две общие точки: \( m > 4 \) (парабола), \( 0 < m < 4 \) (парабола), \( m < -4 \) (гипербола).

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет одну или две общие точки со всем графиком, когда \( m \) находится в следующих интервалах:

\[ m \in (-\infty; -4) \cup [0; \infty) \]

Ответ: \( m \in (-\infty; -4) \cup [0; \infty) \)