514. Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Сначала переведём все величины в одну единицу измерения. 4,5 дм = 45 см. Площадь ромба можно вычислить по формуле (S = rac{1}{2}d_1d_2), где (d_1) и (d_2) - диагонали ромба. Известна площадь и одна диагональ, найдём вторую диагональ: (540 = rac{1}{2} cdot 45 cdot d_2). Отсюда (d_2 = rac{540 cdot 2}{45} = 24) см. Площадь ромба также можно выразить как (S = a cdot h), где (a) - сторона ромба, а (h) - его высота. Найдём сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Тогда половинки диагоналей равны (45/2 = 22.5) см и (24/2 = 12) см. По теореме Пифагора, сторона ромба равна (a = sqrt{22.5^2 + 12^2} = sqrt{506.25 + 144} = sqrt{650.25} = 25.5) см. Теперь найдём высоту ромба: (540 = 25.5 cdot h). Отсюда (h = rac{540}{25.5} approx 21.18) см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба - это половина высоты ромба. Следовательно, расстояние равно (21.18 / 2 approx 10.59) см. Ответ: 10.59 см.