521. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD² + BC² = AB² + CD².

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны. Тогда по теореме Пифагора: Для \(\triangle AOB\): (AB^2 = AO^2 + BO^2) Для \(\triangle BOC\): (BC^2 = BO^2 + CO^2) Для \(\triangle COD\): (CD^2 = CO^2 + DO^2) Для \(\triangle DOA\): (AD^2 = DO^2 + AO^2) Сложим (AD^2) и (BC^2): (AD^2 + BC^2 = DO^2 + AO^2 + BO^2 + CO^2) Сложим (AB^2) и (CD^2): (AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2) Таким образом, (AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2), что и требовалось доказать.