518. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

а) Пусть меньшее основание (b = 18) см, высота (h = 9) см, острый угол (\alpha = 45^\circ). В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник. В этом треугольнике один из углов равен 45°, значит, и второй острый угол тоже равен 45°, то есть это равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, катет, который является проекцией боковой стороны на большее основание, равен высоте, то есть 9 см. Большее основание (a = b + 2 cdot 9 = 18 + 18 = 36) см. Площадь трапеции (S = \frac{a + b}{2} cdot h = \frac{36 + 18}{2} cdot 9 = \frac{54}{2} cdot 9 = 27 cdot 9 = 243) см². б) Пусть основания равны (a = 30) см и (b = 16) см, диагонали взаимно перпендикулярны. В равнобедренной трапеции диагонали равны. Если диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований: (h = \frac{a + b}{2} = \frac{30 + 16}{2} = \frac{46}{2} = 23) см. Площадь трапеции (S = \frac{a + b}{2} cdot h = \frac{30 + 16}{2} cdot 23 = 23 cdot 23 = 529) см². Ответ: а) 243 см², б) 529 см².