517. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором AB = 5 см, BC = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, AC = 12 см.

Площадь четырёхугольника можно разбить на площади двух треугольников: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). Рассмотрим \(\triangle ABC\): стороны равны 5, 13 и 12 см. Заметим, что (5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2). Значит, \(\triangle ABC\) - прямоугольный с гипотенузой BC. Площадь \(\triangle ABC = \frac{1}{2} cdot AB cdot AC = \frac{1}{2} cdot 5 cdot 12 = 30) см². Рассмотрим \(\triangle ADC\): стороны равны 9, 15 и 12 см. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: (9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2). Значит, \(\triangle ADC\) - прямоугольный с гипотенузой AD. Площадь \(\triangle ADC = \frac{1}{2} cdot CD cdot AC = \frac{1}{2} cdot 9 cdot 12 = 54) см². Площадь четырёхугольника ABCD равна сумме площадей треугольников: (S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 30 + 54 = 84) см². Ответ: 84 см².