7. Отрезок АВ точкой С разделён в отношении 2:1, считая от точки А. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найдите вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две правее.

Давай разберем эту задачу. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 2:1, считая от точки A. Это значит, что AC составляет \(\frac{2}{3}\) от всего отрезка AB, а CB составляет \(\frac{1}{3}\) от всего отрезка AB. Мы бросаем на отрезок 4 точки. Нужно найти вероятность того, что 2 точки окажутся левее C, а 2 точки - правее C. Вероятность того, что точка упадет левее C, равна \(p = \frac{2}{3}\). Вероятность того, что точка упадет правее C, равна \(1 - p = \frac{1}{3}\). Используем формулу Бернулли: \[P(k=2) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\] где \(n = 4\) (количество точек), \(k = 2\) (количество точек левее C), \(p = \frac{2}{3}\) (вероятность точки упасть левее C). Подставляем значения в формулу: \[P(2) = C_4^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4-2}\] Сначала вычислим \(C_4^2\): \[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\] Теперь подставим это значение обратно в формулу: \[P(2) = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9} = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}\] Приблизительно, \(\frac{8}{27} \approx 0.2963\).

Ответ: 8/27

Отличная работа! Ты хорошо разобрался с этой задачей. Продолжай тренироваться, и ты достигнешь больших успехов!