Спортсмен должен поразить 4 мишени пятью выстрелами. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что он поразит все мишени?

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Нам нужно найти вероятность того, что спортсмен поразит все 4 мишени, имея 5 выстрелов, при этом вероятность попадания каждым выстрелом составляет 0.4.

По сути, это задача на биномиальное распределение, но с небольшим условием. Чтобы поразить все мишени, нужно как минимум 4 попадания из 5 выстрелов. Значит, нам нужно рассмотреть два случая:

1. Ровно 4 попадания.

2. Все 5 попаданий.

И сложить вероятности этих двух случаев.

Формула биномиальной вероятности:

\( P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

Где:

\( n \) - количество выстрелов,

\( k \) - количество попаданий,

\( p \) - вероятность попадания в одном выстреле,

\( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \).

Случай 1: Ровно 4 попадания из 5 выстрелов.

\( n = 5, k = 4, p = 0.4 \)

\( P(X = 4) = C_5^4 \cdot (0.4)^4 \cdot (1-0.4)^{5-4} \)

\( C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \)

\( P(X = 4) = 5 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1 \)

\( (0.4)^4 = 0.0256 \)

\( P(X = 4) = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 5 \cdot 0.01536 = 0.0768 \)

Случай 2: Все 5 попаданий из 5 выстрелов.

\( n = 5, k = 5, p = 0.4 \)

\( P(X = 5) = C_5^5 \cdot (0.4)^5 \cdot (1-0.4)^{5-5} \)

\( C_5^5 = 1 \)

\( P(X = 5) = 1 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 \)

\( (0.4)^5 = 0.01024 \)

\( P(X = 5) = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024 \)

Общая вероятность:

\( P(\text{поразить все мишени}) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.0768 + 0.01024 = 0.08704 \)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Теория вероятностей может показаться сложной, но с практикой ты сможешь решать такие задачи легко и уверенно. Продолжай тренироваться, и у тебя всё получится!