Неделя 2, Задание 12: В июле некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы. Каким днём недели могло быть 15 июля указанного года? Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решение:

В июле 31 день. В месяце может быть либо 4, либо 5 одинаковых дней недели. Если в месяце 4 понедельника и 4 пятницы, значит, остальные дни недели встречаются по 5 раз. Это происходит, когда месяц начинается в определенный день недели.

Рассмотрим, какие дни недели могут встречаться 5 раз:

Если 1 июля — понедельник, то понедельников будет 5. Тогда в месяце будет 4 пятницы.

Если 1 июля — вторник, то вторников будет 5. Тогда в месяце будет 4 пятницы.

Если 1 июля — среда, то среда будет 5 раз. Тогда в месяце будет 4 пятницы.

Если 1 июля — четверг, то четвергов будет 5. Тогда в месяце будет 4 пятницы.

Если 1 июля — пятница, то пятниц будет 5. Это противоречит условию (4 пятницы).

Если 1 июля — суббота, то суббот будет 5. Тогда в месяце будет 4 пятницы.

Если 1 июля — воскресенье, то воскресений будет 5. Тогда в месяце будет 4 пятницы.

Таким образом, если в июле 4 понедельника и 4 пятницы, то дней недели, которые встречаются 5 раз, должно быть 3. Это означает, что месяц не может начинаться с понедельника или пятницы.

Если 1 июля — понедельник, то понедельников — 5. Пятниц — 4. Это противоречит условию. Значит, 1 июля не может быть понедельником.

Если 1 июля — пятница, то пятниц — 5. Это противоречит условию.

Значит, если в июле 4 понедельника и 4 пятницы, то дни недели, которые встречаются 5 раз, — это вторник, среда, четверг, суббота, воскресенье. Понедельник и пятница встречаются по 4 раза.

Следовательно, 1 июля не мог быть понедельником или пятницей. Месяц мог начаться с вторника, среды, четверга, субботы или воскресенья.

Теперь определим, каким днем недели могло быть 15 июля.

1. Если 1 июля — вторник, то 15 июля (14 дней спустя) будет вторник.
2. Если 1 июля — среда, то 15 июля будет среда.
3. Если 1 июля — четверг, то 15 июля будет четверг.
4. Если 1 июля — суббота, то 15 июля будет суббота.
5. Если 1 июля — воскресенье, то 15 июля будет воскресенье.

Ответ: 15 июля могло быть вторником, средой, четвергом, субботой или воскресеньем.