17. 6 Найти f'(1), если f(x) = 3(x² + 2) √x.

17. Дано: $$f(x) = 3(x^2 + 2)\sqrt{x}$$.

Найти: $$f'(1)$$.

Сначала найдем производную функции $$f(x)$$.

Преобразуем функцию: $$f(x) = 3(x^2 + 2)x^{\frac{1}{2}} = 3(x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}) = 3x^{\frac{5}{2}} + 6x^{\frac{1}{2}}$$.

Используем правило производной суммы и разности, а также правило производной степенной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^{\frac{5}{2}} + 6x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{dx}(3x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{dx}(6x^{\frac{1}{2}})$$.

Применим правило производной степенной функции $$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$:

$$\frac{d}{dx}(3x^{\frac{5}{2}}) = 3 \cdot \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{15}{2}x^{\frac{3}{2}}$$.

$$\frac{d}{dx}(6x^{\frac{1}{2}}) = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 3x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$$.

Тогда:

$$f'(x) = \frac{15}{2}x\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}}$$.

Теперь найдем значение производной в точке $$x = 1$$:

$$f'(1) = \frac{15}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + \frac{3}{\sqrt{1}} = \frac{15}{2} + 3 = \frac{15 + 6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$$.

Ответ: $$10.5$$