16. 5 Найти f'(1/9), если f(x) = 4√x + 10x.

16. Дано: $$f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{1}{10x}$$.

Найти: $$f'(\frac{1}{9})$$.

Сначала найдем производную функции $$f(x)$$, используя правило производной суммы и разности, а также правило производной степенной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(4\sqrt{x} + \frac{1}{10x}) = \frac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{dx}(\frac{1}{10}x^{-1})$$.

Применим правило производной степенной функции $$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$:

$$\frac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}}) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{x}}$$.

$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{10}x^{-1}) = \frac{1}{10} \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{1}{10x^2}$$.

Тогда:

$$f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{10x^2}$$.

Теперь найдем значение производной в точке $$x = \frac{1}{9}$$:

$$f'(\frac{1}{9}) = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{9}}} - \frac{1}{10(\frac{1}{9})^2} = \frac{2}{\frac{1}{3}} - \frac{1}{10 \cdot \frac{1}{81}} = 6 - \frac{81}{10} = 6 - 8.1 = -2.1$$.

Ответ: $$-2.1$$