4. Найдите tg α,если cos α = \frac{5\sqrt{29}}{29} и α ∈ (0; \frac{π}{2}).

4. Для нахождения tg α, если известен cos α, воспользуемся формулой:

$$tg α = \frac{sin α}{cos α}$$

Найдем sin α, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$sin^2 α = 1 - cos^2 α$$

$$sin α = ±\sqrt{1 - cos^2 α}$$

По условию cos α = \frac{5\sqrt{29}}{29}, тогда

$$sin α = ±\sqrt{1 - (\frac{5\sqrt{29}}{29})^2} = ±\sqrt{1 - \frac{25 \cdot 29}{29^2}} = ±\sqrt{1 - \frac{25}{29}} = ±\sqrt{\frac{29 - 25}{29}} = ±\sqrt{\frac{4}{29}} = ±\frac{2}{\sqrt{29}} = ±\frac{2\sqrt{29}}{29}$$

Так как α ∈ (0; \frac{π}{2}), то есть α находится в первой четверти, где sin α > 0, то выбираем положительное значение.

$$sin α = \frac{2\sqrt{29}}{29}$$

Тогда

$$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{2\sqrt{29}}{29}}{\frac{5\sqrt{29}}{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29} \cdot \frac{29}{5\sqrt{29}} = \frac{2}{5}$$

Ответ: $$tg α = \frac{2}{5}$$