5. Найдите tg α,если cos α = \frac{2\sqrt{5}}{5} и α ∈ (1,5π; 2π).

5. Для нахождения tg α, если известен cos α, воспользуемся формулой:

$$tg α = \frac{sin α}{cos α}$$

Найдем sin α, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$sin^2 α = 1 - cos^2 α$$

$$sin α = ±\sqrt{1 - cos^2 α}$$

По условию cos α = \frac{2\sqrt{5}}{5}, тогда

$$sin α = ±\sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2} = ±\sqrt{1 - \frac{4 \cdot 5}{25}} = ±\sqrt{1 - \frac{20}{25}} = ±\sqrt{\frac{25 - 20}{25}} = ±\sqrt{\frac{5}{25}} = ±\sqrt{\frac{1}{5}} = ±\frac{1}{\sqrt{5}} = ±\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Так как α ∈ (1,5π; 2π), то есть α находится в четвертой четверти, где sin α < 0, то выбираем отрицательное значение.

$$sin α = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Тогда

$$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $$tg α = -\frac{1}{2}$$