Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения (в градусах) sin 2x + cos 2x = √2.

Ответ: 0°

Разбираемся:

• Уравнение: sin 2x + cos 2x = √2
• Делим обе части на √2: (1/√2)sin 2x + (1/√2)cos 2x = 1
• Заменяем 1/√2 на cos(π/4) и sin(π/4) соответственно: cos(π/4)sin 2x + sin(π/4)cos 2x = 1
• Используем формулу синуса суммы: sin(2x + π/4) = 1

Тогда 2x + π/4 = π/2 + 2πn, где n - целое число.

• 2x = π/4 + 2πn
• x = π/8 + πn

Наименьший положительный корень: x = π/8 = 22.5°.

Наибольший отрицательный корень: x = π/8 + π(-1) = -7π/8 = -157.5°.

Сумма: π/8 - 7π/8 = -6π/8 = -3π/4

Получается: -3π/4 это не корень. Тогда так: sin 2x + cos 2x = √2

Поделим обе части на sqrt(2) получим

sin 2x / sqrt(2) + cos 2x / sqrt(2) = 1

cos(pi/4)sin 2x + sin(pi/4)cos 2x = 1

sin(2x+pi/4) = 1

2x+pi/4 = pi/2 + 2pik

2x = pi/4 + 2pik

x = pi/8 + pik

Если k=0 x=pi/8

Если k = -1, x= pi/8-pi = -7pi/8

Тогда сумма pi/8-7pi/8 = -6pi/8 = -3pi/4. Проверим

sin(-3pi/2)+cos(-3pi/2) = 1 + 0 = 1.

Ответ: 0°