Найдите среднее арифметическое наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения (в градусах) sin x/2 + cos x/2 + sin x/2 cos x/2 = 1.

Ответ: -180°

Разбираемся:

• Уравнение: sin(x/2) + cos(x/2) + sin(x/2)cos(x/2) = 1
• Пусть t = sin(x/2) + cos(x/2)
• Тогда t^2 = sin^2(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) + cos^2(x/2) = 1 + 2sin(x/2)cos(x/2)
• Отсюда sin(x/2)cos(x/2) = (t^2 - 1)/2

Подставляем в исходное уравнение:

• t + (t^2 - 1)/2 = 1
• 2t + t^2 - 1 = 2
• t^2 + 2t - 3 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
• t1 = (-2 + 4) / 2 = 1
• t2 = (-2 - 4) / 2 = -3

1. sin(x/2) + cos(x/2) = 1. sin(x/2) = 1 - cos(x/2).

Возведём обе части в квадрат, получим sin^2(x/2) = 1 - 2cos(x/2) + cos^2(x/2)

1 - cos^2(x/2) = 1 - 2cos(x/2) + cos^2(x/2)

2cos^2(x/2) - 2cos(x/2) = 0

2cos(x/2)(cos(x/2) - 1) = 0

Отсюда cos(x/2) = 0 или cos(x/2) = 1

• cos(x/2) = 0 => x/2 = pi/2 + pik, x = pi + 2pik
• cos(x/2) = 1 => x/2 = 2pik, x = 4pik

2. sin(x/2) + cos(x/2) = -3. sin(x/2) + cos(x/2) + 3 = 0

sqrt(2)sin(x/2 + pi/4) = -3. sin(x/2 + pi/4) = -3 / sqrt(2), что невозможно.

Отсюда ответ x = pi + 2pik и x = 4pik

Наименьший положительный корень: 0

Наибольший отрицательный корень: -pi

(0 + (-pi)) / 2 = -pi/2 = -90 градусов.

Вычисление

sin(x/2)+cos(x/2)+sin(x/2)cos(x/2)=1, домножим на 2 обе части

2sin(x/2)+2cos(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2)=2

2sin(x/2)+2cos(x/2)+sin(x)=2

x = 0 - min положительный

x = -180 max отрицательный

(0 - 180)/2= -90.

Ответ: -180°