130. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 6 см меньше другого катета и на 12 см меньше гипотенузы. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 21 см, а диагональ прямоугольника – 39 см.

Первая задача:

Пусть меньший катет равен x, тогда другой катет равен x + 6, а гипотенуза равна x + 12. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x + 6)^2 = (x + 12)^2$$

$$x^2 + x^2 + 12x + 36 = x^2 + 24x + 144$$

$$x^2 - 12x - 108 = 0$$

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 144 + 432 = 576$$

$$x_1 = \frac{12 + \sqrt{576}}{2} = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18$$

$$x_2 = \frac{12 - \sqrt{576}}{2} = \frac{12 - 24}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 18.

Другой катет: 18 + 6 = 24

Гипотенуза: 18 + 12 = 30

Ответ: Стороны прямоугольного треугольника: 18 см, 24 см, 30 см.

Вторая задача:

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна x см, тогда большая сторона равна (x + 21) см. Диагональ равна 39 см. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x + 21)^2 = 39^2$$

$$x^2 + x^2 + 42x + 441 = 1521$$

$$2x^2 + 42x - 1080 = 0$$

$$x^2 + 21x - 540 = 0$$

$$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$$

$$x_1 = \frac{-21 + \sqrt{2601}}{2} = \frac{-21 + 51}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{-21 - \sqrt{2601}}{2} = \frac{-21 - 51}{2} = \frac{-72}{2} = -36$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 15 см.

Другая сторона: 15 + 21 = 36 см.

Ответ: Стороны прямоугольника: 15 см, 36 см.