Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = -2/3 x^3 + 5/2 x^2 - 2x + 10

Решение:

1. Найдем первую производную функции:

\( y' = ( -\frac{2}{3} x^3 + \frac{5}{2} x^2 - 2x + 10 )' \)

\( y' = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 2 \)

\( y' = -2x^2 + 5x - 2 \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( -2x^2 + 5x - 2 = 0 \)

\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \).
5. \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
6. \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
7. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

7. Найдем значения функции в точках экстремума:

При \( x = 0.5 \) (точка минимума):

\( y(0.5) = -\frac{2}{3}(0.5)^3 + \frac{5}{2}(0.5)^2 - 2(0.5) + 10 \)

\( y(0.5) = -\frac{2}{3}(0.125) + \frac{5}{2}(0.25) - 1 + 10 \)

\( y(0.5) = -\frac{0.25}{3} + \frac{1.25}{2} + 9 \)

\( y(0.5) = -\frac{1}{12} + \frac{5}{8} + 9 \)

\( y(0.5) = \frac{-2 + 15}{24} + 9 = \frac{13}{24} + 9 = 9\frac{13}{24} \)

При \( x = 2 \) (точка максимума):

\( y(2) = -\frac{2}{3}(2)^3 + \frac{5}{2}(2)^2 - 2(2) + 10 \)

\( y(2) = -\frac{2}{3}(8) + \frac{5}{2}(4) - 4 + 10 \)

\( y(2) = -\frac{16}{3} + 10 + 6 \)

\( y(2) = -\frac{16}{3} + 16 = \frac{-16 + 48}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \)

Ответ:

Промежутки монотонности:

• Функция убывает на \( (-\infty; 0.5] \) и \( [2; +\infty) \).
• Функция возрастает на \( [0.5; 2] \).

Точки экстремума:

• Точка минимума: \( (0.5; 9\frac{13}{24}) \)
• Точка максимума: \( (2; 10\frac{2}{3}) \)