8. Вычислите определенный интеграл: ∫(8x^3 – 10x - 3) dx от 1 до 2

Решение:

1. Найдем первообразную для функции \( 8x^3 - 10x - 3 \).
2. Первообразная \( F(x) = \int (8x^3 - 10x - 3) dx = 8 \frac{x^4}{4} - 10 \frac{x^2}{2} - 3x + C = 2x^4 - 5x^2 - 3x + C \).
3. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
4. \( \int_1^2 (8x^3 - 10x - 3) dx = [2x^4 - 5x^2 - 3x]_1^2 \)
5. \( = (2(2)^4 - 5(2)^2 - 3(2)) - (2(1)^4 - 5(1)^2 - 3(1)) \)
6. \( = (2(16) - 5(4) - 6) - (2 - 5 - 3) \)
7. \( = (32 - 20 - 6) - (2 - 8) \)
8. \( = (12 - 6) - (-6) \)
9. \( = 6 + 6 = 12 \).

Ответ: 12