16. Найдите корень уравнения \sqrt{34-3x}=x-2.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$\sqrt{34-3x}=x-2$$

$$(\sqrt{34-3x})^2=(x-2)^2$$

$$34-3x=x^2-4x+4$$

Перенесем все члены уравнения в правую часть:

$$x^2-4x+4-34+3x=0$$

$$x^2-x-30=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Проверим правильность решения, подставив полученные значения x в исходное уравнение:

При x = 6:

$$\sqrt{34-3 \cdot 6}=6-2$$

$$\sqrt{34-18}=4$$

$$\sqrt{16}=4$$

$$4=4$$

Полученное равенство верно, следовательно, x=6 является корнем уравнения.

При x = -5:

$$\sqrt{34-3 \cdot (-5)}=-5-2$$

$$\sqrt{34+15}=-7$$

$$\sqrt{49}=-7$$

$$7=-7$$

Полученное равенство неверно, следовательно, x=-5 не является корнем уравнения.

Ответ: 6