Решение иррационального уравнения

Для решения иррационального уравнения $$\sqrt{\frac{1}{5-2x}}=\frac{1}{3}$$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{\frac{1}{5-2x}}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2$$

После возведения в квадрат получаем:

$$\frac{1}{5-2x} = \frac{1}{9}$$

Теперь, чтобы избавиться от дроби, можно перевернуть обе части уравнения (или умножить обе части на $$9(5-2x)$$, что эквивалентно):

$$5-2x = 9$$

Далее, решаем полученное линейное уравнение относительно x:

$$-2x = 9 - 5$$ $$-2x = 4$$ $$x = \frac{4}{-2}$$ $$x = -2$$

Проверим, что найденный корень не обращает знаменатель в ноль и подкоренное выражение положительно, подставив его в исходное уравнение:

$$\sqrt{\frac{1}{5-2(-2)}} = \sqrt{\frac{1}{5+4}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$

Так как полученное значение удовлетворяет исходному уравнению, то $$x = -2$$ является корнем уравнения.

Ответ: -2