3. На рисунке З ДВАС + ДАМК = = 180°. Найдите разность ZMKB-ZACB.

Дано: ∠ВАС + ∠АМК = 180°.

Найти разность ∠MKB - ∠ACB.

Решение:

Рассмотрим рисунок 3.

Угол ∠MKB - внешний угол треугольника AKC. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, \( \angle MKB = \angle KAC + \angle ACK \) или \( \angle MKB = \angle KAC + \angle ACB \).

Найдем ∠MKB - ∠ACB = ∠KAC + ∠ACB - ∠ACB = ∠KAC.

По условию, ∠ВАС + ∠АМК = 180°.

∠ВАС = ∠KAC + ∠BAK.

Тогда ∠KAC + ∠BAK + ∠AMK = 180°.

Сумма углов треугольника АМК равна 180°, следовательно, ∠KAC + ∠AMK + ∠AKM = 180°.

Из этих двух равенств получаем: ∠KAC + ∠BAK + ∠AMK = ∠KAC + ∠AMK + ∠AKM. Упростим его, вычеркнув одинаковые слагаемые: ∠BAK = ∠AKM.

Углы ∠AKM и ∠MKB - смежные, следовательно, ∠AKM + ∠MKB = 180°. Отсюда ∠AKM = 180° - ∠MKB.

∠AKM - развернутый, следовательно, ∠BAK = 180° - ∠MKB.

∠KAC = ∠BAC - ∠BAK = ∠BAC - (180° - ∠MKB) = ∠BAC - 180° + ∠MKB.

Следовательно, ∠MKB - ∠ACB = ∠KAC = ∠BAC - 180° + ∠MKB.

Ответ: ∠MKB - ∠ACB = ∠KAC = ∠BAC - 180° + ∠MKB.