339 2) 1/2 lg (x² - 4x - 1) = lg (8x) – lg (4x).

Для решения уравнения $$\frac{1}{2} \lg (x^{2} - 4x - 1) = \lg (8x) - \lg (4x)$$ используем свойства логарифмов. 1. Область определения: * $$x^{2} - 4x - 1 > 0$$ * $$8x > 0 \Rightarrow x > 0$$ * $$4x > 0 \Rightarrow x > 0$$ Решим $$x^{2} - 4x - 1 > 0$$. Корни квадратного уравнения $$x^{2} - 4x - 1 = 0$$ равны $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$$. Приблизительно, $$x_{1} = 2 - 2.24 = -0.24$$ и $$x_{2} = 2 + 2.24 = 4.24$$. Тогда $$x^{2} - 4x - 1 > 0$$ при $$x < -0.24$$ или $$x > 4.24$$. С учетом $$x > 0$$, область определения: $$(4.24, \infty)$$. 2. Преобразуем уравнение: Используем свойства $$n \lg a = \lg a^{n}$$ и $$\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$$. Тогда: $$\lg (x^{2} - 4x - 1)^{\frac{1}{2}} = \lg \frac{8x}{4x}$$ $$\lg \sqrt{x^{2} - 4x - 1} = \lg 2$$ 3. Удалим логарифмы: Так как логарифмы с одинаковым основанием, можем приравнять аргументы: $$\sqrt{x^{2} - 4x - 1} = 2$$ 4. Решим уравнение: Возведем обе части в квадрат: $$x^{2} - 4x - 1 = 4$$ $$x^{2} - 4x - 5 = 0$$ Корни квадратного уравнения: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$. Получаем $$x_{1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$ и $$x_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$. 5. Проверка на область определения: $$x = 5$$ принадлежит интервалу $$(4.24, \infty)$$, следовательно, это решение. $$x = -1$$ не принадлежит интервалу $$(4.24, \infty)$$, следовательно, это не решение. Ответ: $$x = 5$$