5). Для точек А (-4; -1), В (2;7), выполните: а) АВ-диаметр, запишите уравнение окружности;

а) Если AB - диаметр окружности, то центр окружности находится в середине отрезка AB. Найдем координаты центра О:

$$x_O = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$

$$y_O = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

Центр окружности O(-1; 3).

Радиус окружности равен половине длины диаметра AB. Найдем длину AB:

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Радиус $$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Уравнение окружности с центром в точке O(-1; 3) и радиусом 5 имеет вид:

$$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 5^2$$

$$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$$

Ответ: $$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$$