116 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC 1 В1С1 и АВ 1 А₁D₁, если ∠BAD = 90°; б) АВ 1 СС1 и DD₁ 1 А1В1, если АВ 1 DD1.

Решение:

а) Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, ∠BAD = 90°.

Доказать: DC ⊥ B1C1 и AB ⊥ A₁D₁.

Доказательство:

• ABCD - параллелограмм (по свойству параллелепипеда), следовательно, DC || AB.
• B1C1 || BC и A₁D₁ || AD (по свойству параллелепипеда).
• Если ∠BAD = 90°, то ABCD - прямоугольник, значит, AB ⊥ AD.
• Так как DC || AB и AB ⊥ AD, то DC ⊥ AD. Следовательно, DC ⊥ BC.
• Так как B1C1 || BC, то DC ⊥ B1C1.
• Так как A₁D₁ || AD, то AB ⊥ A₁D₁.
• Следовательно, DC ⊥ B1C1 и AB ⊥ A₁D₁, что и требовалось доказать.

б) Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, AB ⊥ DD₁.

Доказать: AB ⊥ CC₁ и DD₁ ⊥ A1B1.

Доказательство:

• ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, следовательно, AA1 || BB1 || CC1 || DD1 и AA1 = BB1 = CC1 = DD1.
• Так как AB ⊥ DD₁, то AB ⊥ AA1, AB ⊥ BB1 и AB ⊥ CC1.
• Грань AA1B1B - прямоугольник, следовательно, AA1 ⊥ AB.
• Так как AA1 || DD1, то DD1 ⊥ AB. Следовательно, DD₁ ⊥ A1B1.
• Следовательно, AB ⊥ CC₁ и DD₁ ⊥ A1B1, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано