Решение:

a) Доказательство AB=DB:

Т.к. ОА перпендикулярна плоскости ОВС, то ОА перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, ОА перпендикулярна ОВ и ОС.

Рассмотрим треугольники АОВ и DОВ. В них:

• АО = OD (т.к. О - середина AD)
• ∠AOB = ∠DOB = 90° (т.к. ОА перпендикулярна ОВ)
• OB - общая сторона

Следовательно, треугольники АОВ и DОВ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АВ = DB. Что и требовалось доказать.

б) Доказательство АВ=АС, если ОВ=ОС:

Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. В них:

• АО = АО (общая сторона)
• ∠AOB = ∠AOC = 90° (т.к. ОА перпендикулярна ОВ и ОС)
• ОВ = ОС (по условию)

Следовательно, треугольники АОВ и АОС равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АВ = АС. Что и требовалось доказать.