120 Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

Решение:

Дано: ABCD - квадрат, AB = a, O - точка пересечения диагоналей, OK ⊥ (ABC), OK = b.

Найти: KA, KB, KC, KD.

Решение:

• Так как OK ⊥ (ABC), то OK ⊥ OA, OK ⊥ OB, OK ⊥ OC и OK ⊥ OD.
• Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, OA = OB = OC = OD.
• По теореме Пифагора для квадрата: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$ $$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$
• Рассмотрим треугольник KAO: он прямоугольный, так как OK ⊥ OA.
• По теореме Пифагора: $$KA = \sqrt{OK^2 + OA^2} = \sqrt{b^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{b^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{2}}$$
• Аналогично, KB = KC = KD = √ (b^2 + a^2/2).

Ответ: $$KA = KB = KC = KD = \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{2}}$$.