224. cos 11x + cos 4x = 0

Решим уравнение $$cos11x + cos4x = 0$$.

Преобразуем сумму косинусов в произведение, используя формулу $$cos\alpha + cos\beta = 2cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}$$.

Тогда получим: $$2cos{\frac{11x + 4x}{2}}cos{\frac{11x - 4x}{2}} = 0$$.

$$2cos{\frac{15x}{2}}cos{\frac{7x}{2}} = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$cos{\frac{15x}{2}} = 0$$.

$$\frac{15x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$$.

$$15x = \pi + 2\pi n, n \in Z$$.

$$x = \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{15}, n \in Z$$.

2) $$cos{\frac{7x}{2}} = 0$$.

$$\frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$$.

$$7x = \pi + 2\pi k, k \in Z$$.

$$x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi k}{7}, k \in Z$$.

Теперь найдем наименьший положительный корень уравнения.

1) $$x = \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{15}$$. При $$n = 0$$ получим $$x = \frac{\pi}{15}$$. Переведем в градусы: $$x = \frac{180^{\circ}}{15} = 12^{\circ}$$.

2) $$x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi k}{7}$$. При $$k = 0$$ получим $$x = \frac{\pi}{7}$$. Переведем в градусы: $$x = \frac{180^{\circ}}{7} \approx 25.7^{\circ}$$.

Наименьший положительный корень равен $$12^{\circ}$$.

Ответ: 12