cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами преобразования разности косинусов в произведение.

$$cos(2x) - cos(8x) + cos(6x) = 1$$

Используем формулу: $$cos(a) - cos(b) = -2sin(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2})$$

Тогда $$cos(2x) - cos(8x) = -2sin(\frac{2x+8x}{2})sin(\frac{2x-8x}{2}) = -2sin(5x)sin(-3x) = 2sin(5x)sin(3x)$$, т.к. функция синус нечетная: sin(-a) = -sin(a)

Подставим в исходное уравнение:

$$2sin(5x)sin(3x) + cos(6x) = 1$$

$$2sin(5x)sin(3x) + cos(6x) - 1 = 0$$

Используем формулу $$cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)$$

Тогда $$cos(6x) = 1 - 2sin^2(3x)$$

Подставим:

$$2sin(5x)sin(3x) + 1 - 2sin^2(3x) - 1 = 0$$

$$2sin(5x)sin(3x) - 2sin^2(3x) = 0$$

$$2sin(3x)(sin(5x) - sin(3x)) = 0$$

Используем формулу: $$sin(a) - sin(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2})$$

Тогда $$sin(5x) - sin(3x) = 2cos(\frac{5x+3x}{2})sin(\frac{5x-3x}{2}) = 2cos(4x)sin(x)$$

Подставим:

$$2sin(3x) \cdot 2cos(4x)sin(x) = 0$$

$$4sin(3x)cos(4x)sin(x) = 0$$

$$sin(3x)cos(4x)sin(x) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:

1. $$sin(3x) = 0$$
2. $$cos(4x) = 0$$
3. $$sin(x) = 0$$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. $$sin(3x) = 0$$

   $$3x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

   $$x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$$

2. $$cos(4x) = 0$$

   $$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

   $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$$

3. $$sin(x) = 0$$

   $$x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$$

Объединим корни:

$$x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$$; $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$$; $$x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$$