229. √3 cos² x - 9 sin x cos x - 3√3 = 0

Решим уравнение $$\sqrt{3} cos^2 x - 9 sin x cos x - 3\sqrt{3} = 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$, предполагая, что $$cosx
e 0$$.

$$\sqrt{3} - 9tanx - 3\sqrt{3}(1 + tan^2x) = 0$$.

$$\sqrt{3} - 9tanx - 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}tan^2x = 0$$

$$-2\sqrt{3} - 9tanx - 3\sqrt{3}tan^2x = 0$$

$$3\sqrt{3}tan^2x + 9tanx + 2\sqrt{3} = 0$$

Замена: $$t = tanx$$.

$$3\sqrt{3}t^2 + 9t + 2\sqrt{3} = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = 9^2 - 4 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 81 - 72 = 9$$.

$$t_1 = \frac{-9 + 3}{6\sqrt{3}} = \frac{-6}{6\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

$$t_2 = \frac{-9 - 3}{6\sqrt{3}} = \frac{-12}{6\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.

1) $$tanx = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

$$x = arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n, n \in Z$$.

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$.

2) $$tanx = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.

$$x = arctan(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) + \pi k, k \in Z$$.

$$x = -arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}) + \pi k, k \in Z$$.

Найдем наибольший отрицательный корень уравнения.

1) $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$. При $$n = 0$$ получим $$x = -\frac{\pi}{6} = -30^{\circ}$$. При $$n = -1$$ получим $$x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -30^{\circ} - 180^{\circ} = -210^{\circ}$$.

2) $$x = -arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}) + \pi k$$. При $$k = 0$$ получим $$x = -arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}) \approx -49.1^{\circ}$$. При $$k = -1$$ получим $$x = -arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}) - \pi \approx -49.1^{\circ} - 180^{\circ} = -229.1^{\circ}$$.

Наибольший отрицательный корень равен $$-30^{\circ}$$.

Ответ: -30