Часть 2. К заданиям 7-9 приведите полное обоснованное решение. 7. В равностороннем треугольнике АВС медианы ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите угол АОК.

Решение:

В равностороннем треугольнике медианы являются также высотами и биссектрисами.

1. Медианы \( ВК \) и \( АМ \) в точке \( O \) делятся в отношении \( 2:1 \), считая от вершины.
2. Так как \( АМ \) — медиана и высота, то \( \angle AMO = 90^{\circ} \).
3. В равностороннем треугольнике \( \angle KAO = \angle CAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
4. Рассмотрим треугольник \( АОК \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).
5. \( \angle AOK + \angle OAK + \angle AKO = 180^{\circ} \).
6. \( \angle AOK + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
7. \( \angle AOK = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°