9. На биссектрисе ВМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка Д, на отрезке АМ точка Е и на отрезке СМ точка F, причем ЕМ = FM. Найдите угол CFD, если угол FDE равен 80°

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), \( BM \) — биссектриса. \( D \in BM \), \( E \in AM \), \( F \in CM \), \( EM = FM \), \( \angle FDE = 80^{\circ} \).
Найти: \( \angle CFD \).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \) и \( BM \) — биссектриса, то \( BM \) является также медианой и высотой. Следовательно, \( AM = MC \) и \( BM \perp AC \). \( \angle AMB = \angle CMB = 90^{\circ} \).
2. Рассмотрим \( \triangle EMC \) и \( \triangle FMA \).
3. \( AM = MC \) (из п. 1).
4. \( EM = FM \) (по условию).
5. \( \angle EMC = \angle FMA \) (вертикальные углы).
6. Следовательно, \( \triangle EMC = \triangle FMA \) по двум сторонам и углу между ними.
7. Из равенства треугольников следует, что \( EC = FA \).
8. Рассмотрим \( \triangle BDE \) и \( \triangle BFE \).
9. \( BD = BF \) (так как \( BM \) — биссектриса и высота равнобедренного \( \triangle ABC \), точка \( D \) лежит на \( BM \), и \( \triangle BDE \) и \( \triangle BFE \) имеют равные основания \( EM \) и \( FM \) и высоту \( BD \)).
10. \( BE = BF \) (необходимо доказать, что \( \triangle BDE \) и \( \triangle BFE \) равны).
11. Рассмотрим \( \triangle BDM \) и \( \triangle BFM \). \( BM \) — общая сторона, \( DM = FM \) (нет, это не дано).
12. Рассмотрим \( \triangle BDF \) и \( \triangle BDE \).
13. \( BD \) — общая сторона.
14. \( EM = FM \) (по условию).
15. \( BM \) — биссектриса, медиана, высота. \( \angle BMD = \angle BMF = 90^{\circ} \).
16. Рассмотрим \( \triangle EMF \). Так как \( EM = FM \), то \( \triangle EMF \) — равнобедренный. \( \angle MEF = \angle MFE \).
17. \( \angle FDE = 80^{\circ} \).
18. В \( \triangle FDM \): \( \angle FDM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle DFM \).
19. В \( \triangle BDF \) и \( \triangle BDE \): \( BD \) — общая, \( DM \) = \( FM \) (нет).
20. Попробуем через углы: \( \angle ABM = \angle CBM = 30^{\circ} \) (так как \( \triangle ABC \) равносторонний, здесь ошибка, \( \triangle ABC \) — равнобедренный, не обязательно равносторонний).
21. Пусть \( \angle ABC = 2\alpha \). Тогда \( \angle ABM = \angle CBM = \alpha \). \( \angle BAC = \angle BCA = 90^{\circ} - \alpha \).
22. В \( \triangle EMF \), \( EM = FM \). \( \angle EMF = 180^{\circ} - \angle AMB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (нет, \( \angle AMB = 90^{\circ} \), \( E \in AM \), \( F \in CM \)).
23. \( \angle EMC = 90^{\circ} \). \( \triangle EMC \) — прямоугольный. \( E \in AM \), \( F \in CM \).
24. \( EM = FM \). Точка \( D \) на биссектрисе \( BM \). \( \angle FDE = 80^{\circ} \).
25. Рассмотрим \( \triangle EBM \) и \( \triangle FBM \). \( BM \) — общая, \( EM \) и \( FM \) не равны.
26. Рассмотрим \( \triangle BEM \) и \( \triangle BFM \). \( BM \) — общая, \( EM = FM \) (нет).
27. Рассмотрим \( \triangle BDF \) и \( \triangle BDE \). \( BD \) — общая. \( \angle BMD = 90^{\circ} \).
28. В \( \triangle EMF \), \( EM = FM \), \( \angle EMF = 90^{\circ} \). \( \triangle EMF \) — равнобедренный прямоугольный. \( \angle MEF = \angle MFE = 45^{\circ} \).
29. \( \angle CFD \) и \( \angle MFE \) — вертикальные углы, \( \angle CFD = \angle MFE \) (нет).
30. \( \angle CFD \) и \( \angle EFM \) — смежные углы. \( \angle CFD + \angle EFM = 180^{\circ} \).
31. \( \angle EFM \) — это \( \angle MFE = 45^{\circ} \). \( \angle CFD = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \) (это если \( F \) лежит на \( MC \)).
32. Проверим \( \angle FDE = 80^{\circ} \).
33. В \( \triangle BDF \) и \( \triangle BDE \). \( BM \) — ось симметрии. \( D \) лежит на \( BM \). \( E \in AM \), \( F \in CM \).
34. Рассмотрим \( \triangle BDM \) и \( \triangle BFM \). \( BD \) = \( BF \) (по свойству симметрии).
35. \( \triangle BDM \) и \( \triangle BFM \) — прямоугольные. \( DM = FM \) (нет).
36. \( \triangle BME \) и \( \triangle BMF \). \( BM \) — общая. \( EM = FM \). \( \angle BME = \angle BMF = 90^{\circ} \).
37. Следовательно, \( \triangle BME = \triangle BMF \) по двум сторонам и углу между ними.
38. Из равенства следует \( BE = BF \).
39. Рассмотрим \( \triangle BDE \) и \( \triangle BDF \).
40. \( BD \) — общая. \( BE = BF \) (из равенства \( \triangle BME = \triangle BMF \)). \( \angle EBD = \angle FBD \) (так как \( BM \) — биссектриса).
41. Следовательно, \( \triangle BDE = \triangle BDF \) по двум сторонам и углу между ними.
42. Из равенства следует \( DE = DF \).
43. Рассмотрим \( \triangle DEF \). Так как \( DE = DF \), то \( \triangle DEF \) — равнобедренный. \( \angle DEF = \angle DFE \).
44. \( \angle FDE = 80^{\circ} \).
45. \( \angle DEF + \angle DFE + \angle FDE = 180^{\circ} \).
46. \( 2 \angle DFE + 80^{\circ} = 180^{\circ} \).
47. \( 2 \angle DFE = 100^{\circ} \).
48. \( \angle DFE = 50^{\circ} \).
49. \( \angle CFD \) и \( \angle DFE \) — смежные углы. \( \angle CFD + \angle DFE = 180^{\circ} \).
50. \( \angle CFD + 50^{\circ} = 180^{\circ} \).
51. \( \angle CFD = 130^{\circ} \).

Ответ: 130°