31. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.

Пусть a и b - боковые стороны треугольника, c - основание. Высота, опущенная на основание, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Высоту можно найти по теореме Пифагора:

$$h = \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2}$$

1. a = 30 см, b = 25 см, c = 25 см (неравнобедренный треугольник)

   Полупериметр:

   $$p = \frac{30+25+25}{2} = \frac{80}{2} = 40$$

   Площадь по формуле Герона:

   $$S = \sqrt{40(40-30)(40-25)(40-25)} = \sqrt{40 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 15} = \sqrt{2^3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^4} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$$

   Высота, опущенная на основание:

   $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 300}{25} = \frac{600}{25} = 24 \text{ см}$$

   Ответ: h = 24 см

2. a = 30 см, b = 25 см, c = 11 см (неравнобедренный треугольник)

   Полупериметр:

   $$p = \frac{30+25+11}{2} = \frac{66}{2} = 33$$

   Площадь по формуле Герона:

   $$S = \sqrt{33(33-30)(33-25)(33-11)} = \sqrt{33 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 22} = \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 11} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 33 = 132$$

   Высота, опущенная на основание:

   $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 132}{11} = \frac{264}{11} = 24 \text{ см}$$

   Ответ: h = 24 см