19. (3 балла) Найдите корни уравнения 19 · 4^x - 5 · 2^x+2 + 1 = 0.

Преобразуем уравнение:

$$19 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0$$

$$19 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^2 \cdot 2^x + 1 = 0$$

$$19 \cdot (2^x)^2 - 20 \cdot 2^x + 1 = 0$$

Пусть $$y = 2^x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$19y^2 - 20y + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = (-20)^2 - 4(19)(1) = 400 - 76 = 324$$

$$y_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{324}}{2(19)} = \frac{20+18}{38} = \frac{38}{38} = 1$$

$$y_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{324}}{2(19)} = \frac{20-18}{38} = \frac{2}{38} = \frac{1}{19}$$

Вернемся к исходной переменной x:

$$2^x = 1$$

$$x_1 = 0$$

$$2^x = \frac{1}{19}$$

$$x_2 = log_2(\frac{1}{19}) = -log_2(19)$$

Ответ: 0, -log₂(19)