B3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть \( l \) — длина бокового ребра, \( H \) — высота пирамиды, \( \alpha \) — угол между боковым ребром и плоскостью основания. Данные:

\( l = 4 \) см

\( \alpha = 45^{\circ} \)

а) Найдём высоту пирамиды.

В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на основание (диагональю основания, делённой пополам), высота является катетом, противолежащим углу \( \alpha \).

\( \sin \alpha = \frac{H}{l} \)

\( H = l \sin \alpha = 4 \sin 45^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

б) Найдём площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей четырёх равных треугольников.

Сначала найдём апофему \( h_a \) — высоту боковой грани.

В том же прямоугольном треугольнике, где мы нашли высоту, боковое ребро — гипотенуза.

\( \cos \alpha = \frac{d/2}{l} \), где \( d \) — диагональ основания.

\( d/2 = l \cos \alpha = 4 \cos 45^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

Диагональ основания \( d = 4\sqrt{2} \) см.

В основании квадрат. Сторона квадрата \( a \) связана с диагональю \( d \) формулой \( d = a\sqrt{2} \).

\( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \) см.

Теперь найдём апофему \( h_a \) из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \( H \), половиной стороны основания \( a/2 \) и апофемой \( h_a \).

\( h_a^2 = H^2 + (a/2)^2 \)

\( h_a^2 = (2\sqrt{2})^2 + (4/2)^2 = (4 \cdot 2) + 2^2 = 8 + 4 = 12 \)

\( h_a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a \), где \( P \) — периметр основания.

\( P = 4a = 4 \cdot 4 = 16 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) см².

Ответ: а) \( H = 2\sqrt{2} \) см; б) \( S_{бок} = 16\sqrt{3} \) см².