B1 Решите систему уравнений: {x^2 + y^2 = 10; xy = 3}

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки:

1. Из второго уравнения выразим \( y \) через \( x \) (при условии, что \( x \) ≠ 0): \[ y = \frac{3}{x} \]
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10 \] \[ x^2 + \frac{9}{x^2} = 10 \]
3. Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (при условии, что \( x \) ≠ 0): \[ x^4 + 9 = 10x^2 \]
4. Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить биквадратное уравнение: \[ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \]
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \) (при условии, что \( t \ge 0 \)). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 10t + 9 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]
7. Найдём корни для \( t \): \[ t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
8. Теперь вернёмся к замене \( t = x^2 \):
   • Для \( t_1 = 9 \): \[ x^2 = 9 \] \( x = \pm 3 \)
   • Для \( t_2 = 1 \): \[ x^2 = 1 \] \( x = \pm 1 \)
9. Найдем соответствующие значения \( y \), используя \( y = \frac{3}{x} \):
   • Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{3}{3} = 1 \).
   • Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{3}{-3} = -1 \).
   • Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{3}{1} = 3 \).
   • Если \( x = -1 \), то \( y = \frac{3}{-1} = -3 \).

Ответ: (3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1; -3).