б) Расстояние между пристанями А и В равно 38,5 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправился катер, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернул обратно и возвратился в А. К этому времени плот прошёл 22 км. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

1) Найдем время движения плота:

$$\frac{22}{4} = 5,5$$ ч

2) Получается, что катер был в пути 5,5 - 1 = 4,5 ч.

Пусть х км/ч - скорость катера в неподвижной воде.

3) Тогда скорость катера по течению (х + 4) км/ч, а против течения (х - 4) км/ч.

$$\frac{38,5}{x + 4} + \frac{38,5}{x - 4} = 4,5$$

Умножим обе части уравнения на (x + 4)(x - 4), где x ≠ ±4:

$$38,5(x - 4) + 38,5(x + 4) = 4,5(x^2 - 16)$$

$$38,5x - 154 + 38,5x + 154 = 4,5x^2 - 72$$

$$77x = 4,5x^2 - 72$$

$$4,5x^2 - 77x - 72 = 0$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$9x^2 - 154x - 144 = 0$$

$$D = (-154)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-144) = 23716 + 5184 = 28900$$

$$x_1 = \frac{154 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 9} = \frac{154 + 170}{18} = \frac{324}{18} = 18$$

$$x_2 = \frac{154 - 170}{18} = \frac{-16}{18} = - \frac{8}{9}$$ (не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 18 км/ч