А14. Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим скорость яхты в неподвижной воде как $$v$$ (км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть время, которое плот был в пути, равно $$t$$ (часов). Тогда яхта была в пути $$t - 1$$ час.

Расстояние, которое проплыл плот, равно 34 км. Так как плот плывет со скоростью течения реки, то:

$$2t = 34$$$$ t = 17$$

Следовательно, яхта была в пути $$17 - 1 = 16$$ часов.

Пусть расстояние между пристанями А и В равно $$S = 126$$ км. Тогда время, которое яхта плыла из А в В по течению, равно $$\frac{126}{v + 2}$$, а время, которое яхта плыла из В в А против течения, равно $$\frac{126}{v - 2}$$.

Суммарное время яхты в пути равно 16 часам:

$$\frac{126}{v + 2} + \frac{126}{v - 2} = 16$$

Умножим обе части уравнения на $$(v + 2)(v - 2)$$:

$$126(v - 2) + 126(v + 2) = 16(v^2 - 4)$$$$ $$126v - 252 + 126v + 252 = 16v^2 - 64$$$$ $$252v = 16v^2 - 64$$$$ $$16v^2 - 252v - 64 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 4:

$$4v^2 - 63v - 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$v$$. Дискриминант равен:

$$D = (-63)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16) = 3969 + 256 = 4225$$

Тогда корни уравнения:

$$v_1 = \frac{63 + \sqrt{4225}}{2 \cdot 4} = \frac{63 + 65}{8} = \frac{128}{8} = 16$$$$ v_2 = \frac{63 - \sqrt{4225}}{2 \cdot 4} = \frac{63 - 65}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 16$$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч