A9. Вычислить предел функции lim_x→3 (x² - 5x + 6) / (x² - 9)

Решение:

При подстановке \( x=3 \) в данное выражение получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

\[ \frac{3^2 - 5 \cdot 3 + 6}{3^2 - 9} = \frac{9 - 15 + 6}{9 - 9} = \frac{0}{0} \]

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( x^2 - 5x + 6 \). Корни уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) находятся как \( x_1=2, x_2=3 \). Значит, \( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \).

Знаменатель: \( x^2 - 9 \) — это разность квадратов, \( x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3) \).

Теперь перепишем предел:

\[ \lim_{x → 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \]

Сократим \( (x-3) \) (так как \( x → 3 \), \( x ≠ 3 \)):

\[ \lim_{x → 3} \frac{x-2}{x+3} \]

Теперь подставим \( x=3 \):

\[ \frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6} \]

Ответ: 3) \(\frac{1}{6}\)