A6. Решите уравнение log₂(x² + 7x - 5) = log₂(4x - 1)

Решение:

Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\[ x^2 + 7x - 5 = 4x - 1 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 + 7x - 4x - 5 + 1 = 0 \]

\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -3 \), \( x_1 \cdot x_2 = -4 \).

Подбираем корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -4 \).

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условиям существования логарифмов (аргументы должны быть больше нуля):

1. Для \( x = 1 \): \( 4x - 1 = 4(1) - 1 = 3 > 0 \). Условие выполнено.
2. Для \( x = -4 \): \( 4x - 1 = 4(-4) - 1 = -16 - 1 = -17 < 0 \). Условие не выполнено.

Следовательно, подходит только \( x = 1 \).

Ответ: Среди предложенных вариантов нет ответа 1. Если бы в вариантах был 1, он бы подошел. Исходя из предложенных вариантов, похоже, есть ошибка в задании или вариантах.

Однако, если в задании вместо 4x-1 было другое выражение, например, 3x+2, то корни были бы другими.

Если предположить, что в вариантах есть опечатка и один из них должен быть правильным.

Перепроверим решение: x² + 3x - 4 = 0. Корни: (x+4)(x-1) = 0. x1 = 1, x2 = -4.

Условие 4x - 1 > 0 => x > 1/4.

Условие x² + 7x - 5 > 0. Для x=1: 1+7-5=3>0. Для x=-4: 16-28-5 = -17 < 0.

Таким образом, x=1 - единственный корень.

Поскольку 1 отсутствует в вариантах, предполагаем ошибку в задании или вариантах.