97. 22 Сравните числа: (3/7)^(5/4) и (5/14)^(4/5)

Решение:

Для сравнения чисел \( \left( \frac{3}{7} \right)^{\frac{5}{4}} \) и \( \left( \frac{5}{14} \right)^{\frac{4}{5}} \) удобно привести их к одному основанию или одному показателю степени. В данном случае это затруднительно.

Рассмотрим свойства степенной функции \( y = a^x \). Если основание \( a > 1 \), функция возрастающая. Если \( 0 < a < 1 \), функция убывающая.

Основания \( \frac{3}{7} \) и \( \frac{5}{14} \) меньше 1. Показатели степени \( \frac{5}{4} = 1.25 \) и \( \frac{4}{5} = 0.8 \).

Так как основания меньше 1, чем больше показатель степени, тем меньше значение выражения.

Сравним основания: \( \frac{3}{7} \) и \( \frac{5}{14} \). Приведем к общему знаменателю 14: \( \frac{3 · 2}{7 · 2} = \frac{6}{14} \). Так как \( \frac{6}{14} > \frac{5}{14} \), то \( \frac{3}{7} > \frac{5}{14} \).

Сравним показатели: \( \frac{5}{4} = 1.25 \) и \( \frac{4}{5} = 0.8 \). Так как \( 1.25 > 0.8 \).

У нас есть два числа с основаниями меньше 1. Одно основание больше другого (\( \frac{3}{7} > \frac{5}{14} \)), и показатель степени у большего основания тоже больше (\( \frac{5}{4} > \frac{4}{5} \)).

Поскольку функция \( y = a^x \) с \( 0 < a < 1 \) является убывающей, большее основание с большим показателем степени даст меньшее значение.

Следовательно, \( \left( \frac{3}{7} \right)^{\frac{5}{4}} < \left( \frac{5}{14} \right)^{\frac{4}{5}} \).

Ответ: (3/7)^(5/4) < (5/14)^(4/5).