90. 15 Решите уравнение: log_4(3x + 7) = -2

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \log_4(3x + 7) = -2 \), нужно использовать определение логарифма. Это означает, что основание логарифма (4) в степени, равной значению логарифма (-2), равно аргументу логарифма (3x + 7).

1. Запишем уравнение в показательной форме: \( 3x + 7 = 4^{-2} \)
2. Вычислим \( 4^{-2} \): \( 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)
3. Подставим значение обратно в уравнение: \( 3x + 7 = \frac{1}{16} \)
4. Вычтем 7 из обеих частей уравнения: \( 3x = \frac{1}{16} - 7 \)
5. Приведём к общему знаменателю: \( 3x = \frac{1}{16} - \frac{7 \cdot 16}{16} = \frac{1 - 112}{16} = \frac{-111}{16} \)
6. Разделим обе части на 3: \( x = \frac{-111}{16 \cdot 3} = \frac{-37}{16} \)
7. Проверим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть больше нуля. \( 3x + 7 > 0 \)
8. Подставим найденное значение \( x = -\frac{37}{16} \): \( 3 \cdot (\frac{-37}{16}) + 7 = \frac{-111}{16} + \frac{112}{16} = \frac{1}{16} \)
9. Так как \( \frac{1}{16} > 0 \), значение \( x = -\frac{37}{16} \) подходит.

Ответ: x = -∅/16.