94. 19 Решите неравенство: log_1/3 (2x + 1) > -1

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{1/3}(2x + 1) > -1 \) учтем, что основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), поэтому функция \( y = \log_{1/3} t \) убывающая. При раскрытии логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 2x + 1 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2x > -1 \) \(\Rightarrow\) \( x > -\frac{1}{2} \).
2. Решение неравенства:
• Запишем -1 как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -1 = \log_{1/3} (\frac{1}{3})^{-1} = \log_{1/3} 3 \).
• Неравенство принимает вид: \( \log_{1/3}(2x + 1) > \log_{1/3} 3 \).
• Так как функция убывающая, снимаем логарифмы, меняя знак неравенства: \( 2x + 1 < 3 \)
• Вычтем 1 из обеих частей: \( 2x < 3 - 1 \)
• \( 2x < 2 \)
• Разделим обе части на 2: \( x < 1 \).
3. Итоговое решение:
• Объединим результат решения неравенства \( x < 1 \) с ОДЗ \( x > -\frac{1}{2} \).
• Пересечение \( x < 1 \) и \( x > -\frac{1}{2} \) дает \( -\frac{1}{2} < x < 1 \).

Ответ: -1/2 < x < 1.