93. 18 Решите неравенство: log_2(x – 1) ≤ log_2 (2x + 3)

Решение:

Для решения неравенства \( \log_2(x - 1) \le \log_2(2x + 3) \) воспользуемся тем, что логарифмическая функция \( y = \log_2 t \) возрастающая, так как основание \( 2 > 1 \). Это значит, что если \( \log_2 a \le \log_2 b \), то \( a \le b \). Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов.

1. ОДЗ:
• Аргумент первого логарифма должен быть больше нуля: \( x - 1 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > 1 \)
• Аргумент второго логарифма должен быть больше нуля: \( 2x + 3 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2x > -3 \) \(\Rightarrow\) \( x > -\frac{3}{2} \)
• Объединяя оба условия, получаем \( x > 1 \).
2. Решение неравенства:
• Так как функция возрастающая, сравниваем аргументы: \( x - 1 \le 2x + 3 \)
• Вычтем \( x \) из обеих частей: \( -1 \le x + 3 \)
• Вычтем \( 3 \) из обеих частей: \( -1 - 3 \le x \)
• \( -4 \le x \)
• Теперь объединим результат решения неравенства \( x \ge -4 \) с ОДЗ \( x > 1 \).
3. Итоговое решение:
• Пересечение \( x > 1 \) и \( x \ge -4 \) дает \( x > 1 \).

Ответ: x > 1.