9) y = 4 cos(2x + pi)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 4\cos(2x + \frac{\pi}{2}) \) используем правило дифференцирования произведения константы на функцию, косинуса и сложной функции.

Вынесем константу \( 4 \) за знак производной: \( y' = 4 \cdot \frac{d}{dx}\cos(2x + \frac{\pi}{2}) \.

Пусть \( u = 2x + \frac{\pi}{2} \), тогда \( y = \cos(u) \). Производная \( u \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = 2 \).

Производная \( y \) по \( u \) равна \( \frac{dy}{du} = -\sin(u) \).

Применяя правило дифференцирования сложной функции:

\( \frac{d}{dx}\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(u) \cdot 2 = -2\sin(2x + \frac{\pi}{2}) \.

Теперь умножим на константу \( 4 \):

\( y' = 4 \cdot (-2\sin(2x + \frac{\pi}{2})) = -8\sin(2x + \frac{\pi}{2}) \.

Ответ: \( y' = -8\sin(2x + \frac{\pi}{2}) \).