11) y = 4 ctg(x/2 + pi/6)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 4\operatorname{ctg}(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) \) используем правило дифференцирования произведения константы на функцию, котангенса и сложной функции.

Вынесем константу \( 4 \) за знак производной: \( y' = 4 \cdot \frac{d}{dx}\operatorname{ctg}(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) \.

Пусть \( u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \), тогда \( y = \operatorname{ctg}(u) \). Производная \( u \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \).

Производная \( y \) по \( u \) равна \( \frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sin^2(u)} \).

Применяя правило дифференцирования сложной функции:

\( \frac{d}{dx}\operatorname{ctg}(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \.

Теперь умножим на константу \( 4 \):

\( y' = 4 \cdot (-\frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})}) = -\frac{4}{2\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} = -\frac{2}{\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \.

Ответ: \( y' = -\frac{2}{\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \).